Consideremos un objeto luminoso, O, situado en un medio de índice de refracción n1, a una distancia so del vértice V, de una superficie refractora esférica convexa. Si el segundo medio tiene un índice de refracción n2, mayor que n2, los rayos que llegan a cualquier punto de la superficie serán desviados hacia una mayor aproximación a la normal a la superficie.
Refracción en una superficie esférica cuando n2 > n1
Consideremos el rayo que incide en el punto P, a una altura l sobre el eje óptico. El radio de curvatura es r y C es el centro de curvatura. El lugar donde se forma la imagen es I localizado a una distancia si del vértice de la superficie. Los ángulos a, b, y q son los que forman el rayo incidente, la normal y el refractado con el eje óptico. Teniendo en cuenta la aproximación paraxial (tg »sen»áng., para ángulos pequeños) se tiene que:
Si aplicamos la ley de Snell:
n1 sen i = n2 sen r
y teniendo en cuenta la aproximación paraxial:
n1.i = n2.r
En el triángulo OPC se observa que a + b + (180 - i) = 180 y por tanto i = a + b
En el triángulo PCI se observa que r + q + (180 - b) = 180 y por tanto r = b - q
Si sustituimos tenemos que n1 (a + b) = n2 (b - q); Y sustituyendo los valores de los ángulos podemos escribir:
n1.(1/So + 1/r) = n2.(1/r - 1/Si)
Expresión de la que se deduce la conocida expresión del dioptrio esférico
n1/So + n2/Si = (n2 - n1)/r
Fue deducida en 1841 por Gauss y también se conoce como aproximación gaussiana.
Nota: Dioptrio. Superficie de separación entre dos medios con distinto índice de refracción.
Esta ecuación es válida para cualquier caso de refracción siempre que se adopte un criterio de signos adecuado. Criterio de signos para la óptica de la refracción a través de una superficie. Del mismo modo que ocurría en el caso de los espejos, diremos que la distancia a la imagen s es positiva si la imagen es real. Esto determina una diferencia fundamental entre los criterios de la reflexión y refracción: la imagen real en la primera se forma delante del espejo (en el medio de incidencia), mientras que en la segunda se forma en el medio de transmisión.
• So es positivo si es objeto está enfrente de la superficie (en el lado de incidencia) y negativo en el caso contrario.
• Si es positivo si la imagen es real, es decir, si se forma detrás de al superficie (en el lado de transmisión) y negativo en el caso contrario.
• r es positivo si el centro de curvatura se encuentra detrás de la superficie (en el lado de transmisión y negativo en el caso contrario.
Este criterio es el que aplicaremos en las lentes delgadas.
Aumento de la imagen por refracción
Se define el aumento lateral de la imagen como la relación existente entre la altura de la imagen formada, h", y la del objeto, h.
Teniendo en cuenta la aproximación paraxial,
r = -h´/Si
i = h/So
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